因式分解法概念、知识点及练习题

　　【性质与概念】

　　性质：

　　把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。

　　方法分类：

　　方法一. 提公因式法

　　几个多项式的各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的;取相同的多项式，多项式的次数取最低的。 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。 口诀：找准公因式，一次要提净;全家都搬走，留1把家守。

　　要变号，变形看正负。

　　例如：(注：x^2表示x的2次方)

　　-am+bm+cm=-m(a-b-c);

　　a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。

　　注意：把2a^2;+1/2变成2(a^2;+1/4)不叫提公因式

　　方法二. 公式法

　　如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。

　　平方差公式：a^2;-b^2;=(a+b)(a-b);

　　完全平方公式：a^2;±2ab+b^2;=(a±b)^2;;

　　注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

　　立方和公式：a^3;+b^3;=(a+b)(a^2;-ab+b^2;);

　　立方差公式：a^3;-b^3;=(a-b)(a^2;+ab+b^2;);

　　完全立方公式：a^3;±3a^2;b+3ab^2;±b^3;=(a±b)^3;.

　　其他公式：(1)a^3;+b^3;+c^3;+3abc=(a+b+c)(a^2;+b^2;+c^2;-ab-bc-ca)

　　例如：a^2; +4ab+4b^2; =(a+2b)^2;。

　　方法三.解方程法

　　例如，将ax^2;+bx+c(a,b,c是常数，ab≠0)因式分解，可令ax^2;+bx+c=0，再解这个方程。如果方程无解，则原式无法因式分解;如果方程有两个相同的实数根(设为m)，则原式可以分解为(x-m)^2;;如果方程有两个不相等的实数根(分别设为m，n)，则原式可以分解为(x-m)(x-n)。

　　更高次数的多项式亦可。

　　例：分解因式x^2;+3x-4。

　　答：设x^2;+3x-4=0

　　解方程得：x1=1 x2=-4

　　∴x^2;+3x-4因式分解为(x-1)(x+4)

　　技巧：

　　1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。

　　2.分解因式技巧掌握：

　　①等式左边必须是多项式;

　　②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示;

　　③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数;

　　④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

　　注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

　　3.提公因式法基本步骤：

　　(1)找出公因式;

　　(2)提公因式并确定另一个因式：

　　①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母;

　　②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式。

　　③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。竞赛用到的方法

　　【练习题】

　　计算题：

　　1. 分解因式：a^2-8ab-128b^2

　　2. 分解因式：x^2-7x+6

　　3. 分解因式：2x^2-7xy+6y^2

　　【参考答案】

　　计算题：

　　1. (a+8b)(a-16b)

　　2.(x-1)(x-6)

　　3.(x-2y)(2x-3y)