指数函数概念、知识点及练习题

[10-20 18:11:12] 来源：http://www.67xuexi.com 高一数学 阅读：85400次

摘要：【概念及知识点】一、定义一般地，形如y=a^x(a>0且a≠1) (x∈R)的函数叫做指数函数。也就是说以指数为自变量，幂为因变量，底数为常量的函数就是指数函数。当a>1时，此函数在定义域内单调递增，当a<1时，在定义域内单调递减。二、数学术语指数函数是数学中重要的函数。应用到值e上的这个函数写为exp(x)。还可以等价的写为e，这里的e是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于 2.718281828，还称为欧拉数。当a>1时，指数函数对于x的负数值非常平坦，对于x的正数值迅速攀升，在 x等于 0 的时候y等于 1。当0<a<1时，指数函数对于x的负数值迅速攀升，对于x的正数值非常平坦，在x等于0的时候等于1.在x处的切线的斜率等于此处y的值乘上lna。即由导数知识：作为实数变量x的函数，的图像总是正的(在x轴之上)并递增(从左向右看)。它永不触及x轴，尽管它可以任意程度的靠近它(所以，x轴是这个图像的水平渐近线。它的反函数是自然对数ln(x)，它定义在所有正数x上。有时，尤其是在科学中，术语指数函数更一般性的用

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【概念及知识点】

一、定义

　　一般地，形如y=a^x(a>0且a≠1) (x∈R)的函数叫做指数函数。也就是说以指数为自变量，幂为因变量，底数为常量的函数就是指数函数。当a>1时，此函数在定义域内单调递增，当a<1时，在定义域内单调递减。

二、数学术语

　　指数函数是数学中重要的函数。应用到值e上的这个函数写为exp(x)。还可以等价的写为e，这里的e是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于 2.718281828，还称为欧拉数。

　　当a>1时，指数函数对于x的负数值非常平坦，对于x的正数值迅速攀升，在 x等于 0 的时候y等于 1。当0<a<1时，指数函数对于x的负数值迅速攀升，对于x的正数值非常平坦，在x等于0的时候等于1.在x处的切线的斜率等于此处y的值乘上lna。即由导数知识：

　　作为实数变量x的函数，的图像总是正的(在x轴之上)并递增(从左向右看)。它永不触及x轴，尽管它可以任意程度的靠近它(所以，x轴是这个图像的水平渐近线。它的反函数是自然对数ln(x)，它定义在所有正数x上。

　　有时，尤其是在科学中，术语指数函数更一般性的用于形如的函数，这里的 a 叫做“底数”，是不等于 1 的任何正实数。本文最初集中于带有底数为欧拉数e 的指数函数。

　　指数函数的一般形式为(a>0且≠1) (x∈R)，从上面我们关于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得a>0且a≠1

　　如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。指数函数

　　在函数中可以看到：

　　(1) 指数函数的定义域为C，这里的前提是a大于0且不等于1。对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不连续，因此我们不予考虑，同时a等于0函数无意义一般也不考虑。

　　(2) 指数函数的值域为C。

　　(3) 函数图形都是下凹的。

　　(4) a>1时，则指数函数单调递增;若0

　　(5) 可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(不等于0)函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置

　　(6) 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交。指数函数

　　(7) 函数总是通过(0，1)这点,(若,则函数定过点(0,1+b))

　　(8) 指数函数无界。

　　(9)指数函数是非奇非偶函数

　　(10)指数函数具有周期性，周期为2πi.指数函数具有反函数，其反函数是对数函数，它是一个多值函数。

三、公式推导

　　e的定义：

　　设a>0,a≠1

　　方法一：

　　()'

　　=

　　特殊地，当a=e时，()'=(ln x)'=1/x。

　　方法二：

　　设，两边取对数ln y=xln a

　　两边对x求导：y'/y=ln a，y'=yln a=a^xln a

　　特殊地，当a=e时，y'=(a^x)'=(e^x)'=e^xln e=e^x。

　　eº=1

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四、函数图像

　　(1)由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点(1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。

　　(2)由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点(-1，1/a)可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。

　　(3)指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”;在y轴左边“底大图低”。(如右图)。

　　(4)与的图像关于y轴对称。

五、幂的比较

　　比较大小常用方法：(1)比差(商)法：(2)函数单调性法;(3)中间值法：要比较A与B的大小，先找一个中间值C，再比较A与C、B与C的大小，由不等式的传递性得到A与B之间的大小。

　　比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意：

　　(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。

　　例如：，因为3大于1所以函数单调递增(即x的值越大，对应的y值越大)，因为5大于4，所以大于。

　　(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可指数函数以利用指数函数图像的变化规律来判断。

　　(3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则可以利用中间值来比较。如：

　　<1> 对于三个(或三个以上)的数的大小比较，则应该先根据值的大小(特别是与0、1的大小)进行分组，再比较各组数的大小即可。

　　<2> 在比较两个幂的大小时，如果能充分利用“1”来搭“桥”(即比较它们与“1”的大小)，就可以快速的得到答案。那么如何判断一个幂与“1”大小呢?由指数函数的图像和性质可知“同大异小”。即当底数a和1与指数x与0之间的不等号同向(例如： a 〉1且x 〉0，或0〈 a〈 1且 x〈 0)时，大于1，异向时小于1.