抛物线概念、知识点及练习题

　　c = 0时抛物线经过原点

　　b = 0时抛物线对称轴为y轴

　　还有顶点式y = a(x-h)2 + k

　　h是顶点坐标的x

　　k是顶点坐标的y

　　一般用于求最大值与最小值

　　抛物线标准方程：y2=2px

　　它表示抛物线的焦点在x的正半轴上，焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2

　　由于抛物线的焦点可在任意半轴，故共有标准方程y2=2px，y2=-2px，x2=2py，x2=-2py

　　十、相关结论

　　A(x1,y1)，B(x2,y2),A,B在抛物线y2=2px上，则有：

　　① x1x2 = p²/4 , y1y2 = -p² (要在直线过焦点时才能成立);

　　(当A,B在抛物线x²=2py上时，则有x1x2 = -p² , y1y2 = p²/4 , 要在直线过焦点时才能成立)

　　② 焦点弦长：|AB| = x1+x2+P = 2P/[(sinθ)2];

　　③ (1/|FA|)+(1/|FB|)= 2/P;

　　④若OA垂直OB则AB过定点M(2P，0);

　　⑤焦半径：|FP|=x+p/2 (抛物线上一点P到焦点F的距离等于P到准线L的距离);

　　⑥弦长公式：AB=√(1+k2)*│x1-x2│;

　　⑦△=b2-4ac;

　　⑧由抛物线焦点到其切线的垂线距离，是焦点到切点的距离，与到顶点距离的比例中项;

　　⑨标准形式的抛物线在(x0，y0 )点的切线是：yy0=p(x+x0)

　　(注:圆锥曲线切线方程中x²=x*x0 , y² =y*y0 , x=(x+x0)/2 , y=(y+y0)/2 )

　　⑴△=b2-4ac>0有两个实数根;

　　⑵△=b2-4ac=0有两个一样的实数根;

　　⑶△=b2-4ac<0没实数根。

　　十一、解题法

　　1、对称性解题

　　我们知道，抛物线y = ax2 + bx + c ( a ≠0 )是轴对称图形，它的对称轴是直线x = - b/ 2a ，它的顶点在对称轴上。解决有关抛物线的问题时，若能巧用抛物线的对称性，则常可以给出简捷的解法。

　　例：已知抛物线的对称轴是x =1，抛物线与y轴交于点(0，3)，与x轴两交点间的距离为4，求此抛物线的解析式。

　　分析：设抛物线的解析式为y = ax2 + bx + c 。若按常规解法，则需要解关于a、b、c的三元一次方程组，变形过程比较繁杂;若巧用抛物线的对称性，解法就简捷了。因为抛物线的对称轴为x =1，与x轴两交点间的距离为4，由抛物线的对称性可知，它与x轴交于A(-1，0)、B(3，0)两点。于是可设抛物线的解析式为y = a(x+1)(x-3)。又因为抛物线与y轴交于点(0，3)，所以3 = -3a。故a =-1。

　　∴y = -(x+1)(x-3)，即

　　y = - x2 + 2x +3。

　　2、定义解题

　　例：已知F是抛物线y2=4x的焦点，A(3，2)是一个定点，P是抛物线上的动点，求|PA|+|PF|的最小值和此时P的坐标。

　　解：设抛物线的准线为L，过P作PH⊥L，垂足为H，再过A点作AH’⊥L，垂足为H’，并交抛物线于P’。连结P’F。则：

　　|PA|+|PF|=|PA|+|PH|≥|AH’|=|P’A|+|P’H|=|P’A|+|P’F|

　　所以，|PA|+|PF|的最小值是|AH’|，而准线方程x=-1

　　故|PA|+|PF|的最小值是4，此时，P’的坐标是(1，2)

　　抛物线的性质　

　　1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。

　　对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

　　特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)

　　2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ([-b/2a ，(4ac-b)/4a ]

　　当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ= b-4ac=0时，P在x轴上。

　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

　　当a>0时，抛物线开口向上;当a<0时，抛物线开口向下。

　　|a|越大，则抛物线的开口越小。

　　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

　　当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左侧; 因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a<0,若要b/2a大于0，则a、b要同号

　　当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右侧。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-b/2a>0,若要b/2a小于0，则a、b要异号

　　事实上，b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。

　　5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

　　抛物线与y轴交于(0，c)

　　6.抛物线与x轴交点个数

　　Δ= b∧2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。

　　Δ= b∧2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

　　Δ= b∧2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x= -b±√b-4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a)

　　当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b/4a;在{x|x<-b/2a}上是减函数，在{x|x>-b/2a}上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是{y|y≥4ac-b/4a}相反不变

　　当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax2+c(a≠0)

　　7.定义域：R

　　值域：(对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断)①[(4ac-b^2)/4a，+∞);②[t，+∞)

　　奇偶性：偶函数

　　周期性：无

　　解析式：

　　①y=ax∧2+bx+c[一般式]

　　⑴a≠0

　　⑵a>0，则抛物线开口朝上;a<0，则抛物线开口朝下;

　　⑶极值点：(-b/2a，(4ac-b^2)/4a);

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