等差数列概念、知识点及练习题

　　【性质与概念】

　　一、公式

　　通项公式

　　如果一个等差数列的首项为 ，公差为 ，那么该等差数列第 项的表达式为：

　　即 第n项=首项 公差

　　补充：第n项=第m项+(n-m)乘公差

　　前n项和公式

　　注意： n是正整数(相当于n个等差中项之和)

　　等差数列前N项求和，实际就是梯形公式的妙用：

　　上底为：a1首项，下底为a1+(n-1)d,高为n.

　　即[a1+a1+(n-1)d]* n/2=a1 n+ n (n-1)d /2.

　　推论

　　一.从通项公式可以看出，a(n)是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由前n项和公式知，S(n)是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。

　　二. 从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…

　　=a(k)+a(n-k+1)，(类似：p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=...=p(k)+p(n-k+1))，k∈{1,2,…,n}

　　三.若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)，S(2n-1)=(2n-1)*a(n)，S(2n+1)=

　　(2n+1)*a(n+1)，S(k)，S(2k)-S(k)，S(3k)-S(2k)，…，S(n)*k-S(n-1)*k…或等差数列，等等。

　　若m+n=2p,则a(m)+a(n)=2*a(p)

　　(对3的证明：p(m)+p(n)=b(0)+b(1)*m+b(0)+b(1)*n=2*b(0)+b(1)*(m+n)

　　p(p)+p(q)=b(0)+b(1)*p+b(0)+b(1)*q=2*b(0)+b(1)*(p+q);因为m+n=p+q，所以p(m)+p(n)=p(p)+p

　　(q))

　　四.其他推论

　　① 和=(首项+末项)×项数÷2

　　(证明：s(n)=[n,n^2]*[1,1/2;0,1/2]*[b(0);b(1)]=n*b0+1/2*b1*n+1/2*b1*n^2

　　(p(1)+p(n))*n/2=(b(0)+b(1)+b(0)+b(1)*n)*n/2=n*b0+1/2*b1*n+1/2*b1*n^2=s(n))

　　证明原理见高斯算法

　　项数=(末项-首项)÷公差+1

　　(证明：(p(n)-p(1))/b(1)+1=(b(0)+b(1)*n-(b(0)+b(1)))/b(1)+1=(b(1)*(n-1))/b(1)+1=n-1+1=n)

　　② 首项=2和÷项数-首项或末项-公差×(项数-1)

　　③ 末项=2和÷项数-首项

　　(以上2项为第一个推论的转换)

　　④ 末项=首项+(项数-1)×公差

　　(上一项为第二个推论的转换)

　　推论3证明

　　若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)

　　+a(q)

　　如a(m)+a(n)=a(1)+(m-1)*d+a(1)+(n-1)*d

　　=2*a(1)+(m+n-2)*d

　　同理得，

　　a(p)+a(q)=2*a(1)+(p+q-2)*d

　　又因为

　　m+n=p+q ;

　　a(1),d均为常数

　　所以

　　若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)

　　若m，n，p∈N*，且m+n=2p，则有a(m)+a(n)=2a(p)

　　注：1.常数列不一定成立

　　2.m,p,q,n属于自然数

　　⑤2(前2n项和-前n项和)=前n项和+前3n项和-前2n项和

　　二、等差中项

　　等差中项即等差数列头尾两项的和的一半.但求等差中项不一定要知道头尾两项.

　　等差数列中，等差中项一般设为A(r).当A(m),A(r),A(n)成等差数列时。

　　A(m)+A(n)=2×A(r),所以A(r)为A(m)，A(n)的等差中项，且

　　为数列的平均数。并且可以推知n+m=2×r。

　　且任意两项a(m)，a(n)的关系为：a(n)=a(m)+(n-m)*d，(类似p(n)=p(m)+(n-m)*b(1)，相当容易证明

　　它可以看作等差数列广义的通项公式。

　　等差数列的应用日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别

　　时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级。

　　若为等差数列，且有a(n)=m,a(m)=n.则a(m+n)=0。

　　其实，中国古代南北朝的张丘建早已在《张丘建算经》提到等差数列了：

　　今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几 何?

　　书中的解法是：并初、末日织布数，半之，余以乘织讫日数，即得。

　　这相当于给出了S(n)=(a(1)+a(n))/2*n的求和公式

　　三、基本性质

　　r次等差数列

　　为什么等差数列的学习中，对公差和首项特别的关注，因为公差和首项可以作为等差数列一切变化的切入点。当我们有更好的切入点后，我们可以毫不犹豫的抛弃公差和首项。

　　假设一个基En(x)=[1,x,x^2,...,x^k]，转换矩阵A为k+1阶方阵，b=[b0,b1,b2,...,bk]。b同En的长度一样(k+1)。b'表示b的转置。当k=1时，我们可以称为一次数列。k=r时，我们可以称为r次数列。(x,k只能取自然数)

　　p(x)=En(x)*b'

　　s(x)=x*En(x)*A*b'

　　m+n=p+q(m、n、p、q∈N*)则am+an=ap+aq

　　四、一次数列的性质

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