等差数列概念、知识点及练习题

　　1.p1(x),p2(x)均为一次数列，则p1(x)±p2(x)与c*p1(x)±p2(x)(c为非零常数)也是一次数列。p(x)是一次函数，(n,p(x))构成直线。

　　2.p(m)-p(n)=En(m)*b'-En(n)*b'=(En(m)-En(n))*b'=[0,m-n]*b'

　　3.m+n=p+q -> p(p)+p(q)=p(m)+p(n)

　　(证明:m+n=p+q -> En(m)+En(n)=En(p)+En(q)

　　p(m)+p(n)=En(m)*b'+En(n)*b'=(En(m)+En(n))*b'

　　p(p)+p(q)=(En(p)+En(q))*b'=(En(m)+En(n))*b'=p(m)+p(n)

　　4.从p(x)=En(x)*b'中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是一次数列，其一次项系数为k*b(1)( k为取出项数之差)，常项系数未知。

　　5.在一次数列中，从第二项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的平均数.

　　6.当一次项系数b(1)>0时，数列中的数随项数的增大而增大;当b(1)<0时，数列中的数随项数的减少而减小;b(1)=0时，数列中的数等于一个常数.

　　五、等差数列的判定

　　1、a(n+1)--a(n)=d (d为常数、n ∈N*)[或a(n)--a(n-1)=d，n ∈N*，n ≥2,d是常数]等价于{a(n)}成等差数列。

　　2、2a(n+1)=a(n)+a(n+2) [n∈N*] 等价于{a(n)}成等差数列。

　　3、a(n)=kn+b [k、b为常数,n∈N*] 等价于{a(n)}成等差数列。

　　4、S(n)=A(n)^2 +B(n) [A、B为常数，A不为0，n ∈N* ]等价于{a(n)}为等差数列。

　　一道例题

　　1.设p(x)为一次数列，s(7)=7，s(15)=75，t(x)=s(x)/x，求T(x)，其中x为自然数

　　[s(7);s(15)]=[7*En(7);15*En(15)]*A*b'=[7;75] ->b'=A^-1*[7*En(7);15*En(15)]^-1*[7;75]t(x)=s(x)/x=x*En(x)*A*b'/x=En(x)*A*b' ->st(x)=x*En(x)*A^2*b'=x*En(x)*A^2*A^-1*[7*En(7);15*En(15)]^-1=x*En(x)*A*[7*En(7);15*En(15)]^-1*[7;75]=-9/4*x+1/4*x^2(注意：其中st(x)表示t(x)的和)

　　⑴数列为等差数列的重要条件是：数列的前n项和S 可以写成S = an^2 + bn的形式(其中a、b为常数).

　　⑵在等差数列中，当项数为2n (n∈ N+)时， S偶-S奇 = nd， S奇÷S偶=an÷a(n+1) ;当项数为(2n-1)(n∈ N+)时，S奇—S偶=a中 ，S奇÷S偶 =n÷(n-1) .

　　⑶若数列为等差数列，则S n，S2n -Sn ，S3n -S 2n，…仍然成等差数列，公差为k^2d .

　　(4)若数列{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别是Sn和Tn，则am/bm=S2m-1/T2m-1.

　　⑸在等差数列中，S = a，S = b (n>m)，则S = (a-b).

　　⑹等差数列中， 是n的一次函数，且点(n， )均在直线y = x + (a - )上.

　　⑺记等差数列的前n项和为S .①若a >0，公差d<0，则当a ≥0且an+1≤0时，S 最大;②若a <0 ，公差d>0，则当a ≤0且an+1≥0时，S 最小.

　　[8)若等差数列S(p)=q,S(q)=p,则S(p+q)=-(p+q)

　　六、特殊性质

　　在有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等。并且等于首末两项之和;特别的，若项数为奇数，还等于中间项的2倍,

　　即，a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=···=2*a中

　　例：

　　数列：1，3，5，7，9，11中

　　a(1)+a(6)=12 ; a(2)+a(5)=12 ; a(3)+a(4)=12 ; 即，在有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等。并且等于首末两项之和。

　　数列：1，3，5，7，9中

　　a(1)+a(5)=10 ; a(2)+a(4)=10 ; a(3)=5=[a(1)+a(5)]/2=[a(2)+a(4)]/2=10/2=5 ; 即，若项数为奇数，和等于中间项的2倍,另见，等差中项.

　　七、关系

　　设等差数列为：A+BN，A为等差数列的首项，B为等差数列的公差。素数与等差数列的关系具体内容为：

　　内容一，A能够被B整除时，那么，该等差数列的每一项，都能够被B整除;

　　内容二，我们将B分解为几个素数的乘积，如果说，A能够被B所分解出来的1个或几个素数整除，那么，该等差数列的每一项，都能够被这1个或这几个素数整除;

　　, 内容三，如果首项A，不能够被公差B或者公差B分解出来的素数整除，那么，该等差数列的每一项，都不能够被公差B或者分解出来的素数整除;

　　内容四，如果说，公差不能够被素数S整除，那么，该等差数列的S个连续项中，必然有一个项被素数S整除，S个连续项分别除以素数S，其余数分别为：1，2，3，4，……S-1，0。余数的排列是循环排列，循环项以S个连续项为一个循环周期;周期内余数的排列顺序与公差和素数S有关，相同的公差和素数S，余数的循环排列是相同的。

　　【练习题】

　　1、如果等差数列{an}中，a3+a4+a5=12，那么

　　a1+a2+…+a7=______

　　2、设{an}是有正数组成的等比数列，Sn为其前n项和。已知a2a4=1，S3=7，则S5=______

　　3、设{an}(n∈N*)是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S8，则下列结论错误的是_____

　　A.d<0　　B.a7=0　　C.S9>S5

　　【参考答案】

　　1.28

　　2.4分之31

　　3.C

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