二次函数概念、知识点及练习题

　　得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

　　函数图象：

　　1)基本图像

　　在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax^2+bx+c的图像，可以看出，在没有特定定义域的二次函数图像是一条永无止境的抛物线。 如果所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由y=ax^2平移得到的。

　　2) 轴对称

　　二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a

　　对称轴与二次函数图象唯一的交点为二次函数图象的顶点P。

　　特别地，当b=0时，二次函数图象的对称轴是y轴(即直线x=0)。是顶点的横坐标(即x=?)。

　　a,b同号，对称轴在y轴左侧

　　a,b异号，对称轴在y轴右侧

　　3) 顶点

　　二次函数图象有一个顶点P，坐标为P(h,k)。

　　当h=0时，P在y轴上;当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2+k。

　　h=-b/2a,k=(4ac-b^2)/4a

　　4) 开口

　　二次项系数a决定二次函数图象的开口方向和大小。

　　当a>0时，二次函数图象向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。

　　|a|越大，则二次函数图象的开口越小。

　　5) 决定位置的因素

　　一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

　　当a>0,与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左; 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号

　　当a>0,与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号

　　可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0 )，对称轴在y轴右。

　　事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图象与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。

　　6) 决定交点的因素

　　常数项c决定二次函数图象与y轴交点。

　　二次函数图像与y轴交于(0,C)

　　注意：顶点坐标为(h,k)， 与y轴交于(0,C)。

　　7) 与x轴交点个数

　　a<0;k>0或a>0;k<0时，二次函数图象与x轴有2个交点。

　　k=0时，二次函数图象与x轴只有1个交点。

　　质疑点：a<0;k<0或a>0,k>0时，二次函数图象与x轴无交点。

　　当a>0时，函数在x=h处取得最小值ymin=k，在xh范围内是增函数(即y随x的变大而变小)，二次函数图像的开口向上，函数的值域是y>k

　　当a<0时，函数在x=h处取得最大值ymax=k，在xh范围内是减函数(即y随x的变大而变大)，二次函数图象的开口向下，函数的值域是y

　　当h=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数

　　五点法：

　　五点草图法又被叫做五点作图法是二次函数中一种常用的作图方法。

　　注明：虽说是草图，但画出来绝不是草图。

　　五点草图法中的五个点都是极其重要的五个点，分别为：顶点，与x轴交点与y轴交点及其对称点。

　　【练习题】

　　选择题：

　　1. 抛物线y=x^2+3x的顶点在( )

　　A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

　　2. 抛物线y=-3x^2+2x-1的图象与x轴、y轴交点的个数是( )

　　A.没有交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.有三个交点

　　3. 若抛物线y=ax^2-6x经过点(2,0),则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )

　　A.√13 B. √10 C. √15 D. √14

　　【参考答案】

　　选择题：

　　1.C

　　2.B

　　3.B

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