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下学期 4.11 已知三角函数值求角1

摘要:(2)师: ,下学期 4.11 已知三角函数值求角1由www.67xuexi.com收集及整理,转载请说明出处www.67xuexi.comwww.67xuexi.com, 分别表示 与 的正弦值相等, 与 的余弦值相等, 与 的正切值相等,能否说它们表示的角也相等?为什么?生:不能,因为在0~ 间对一个已知的三角函数值一般都有两个角度与它对应.师:对,同学们知道,利用诱导公式,我们可以求得任意角三角函数值,反过来,如果已知一个角的三角函数值,我们利用诱导公式也将能求出 中与之对应的角.这两个过程是互逆的,已知角x求它的正弦值、余弦值、正切值是唯一的,而已知角的正弦值、余弦值、正切值求角在不同范围内可以是一个、二个,也可以是无数多个不同的解.(板书课题——已知三角函数值求角(一))请同学们看一个例题:【例1】(1)已知 ,且 ,求 .(2)已知 ,且 ,求 的取值集合.师生共同分析:(1)由正弦函数在闭区间 上是增函数和 .可知符合条件的角有且只有一个,即下学期 4.11 已知三角函数值求角1由www.67xuexi.com收集及整理,转载请说明出处www.67xu
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  (2)师:


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www.67xuexi.com , 分别表示 的正弦值相等, 的余弦值相等, 的正切值相等,能否说它们表示的角也相等?为什么?

  生:不能,因为在0~ 间对一个已知的三角函数值一般都有两个角度与它对应.

  师:对,同学们知道,利用诱导公式,我们可以求得任意角三角函数值,反过来,如果已知一个角的三角函数值,我们利用诱导公式也将能求出 中与之对应的角.这两个过程是互逆的,已知角x求它的正弦值、余弦值、正切值是唯一的,而已知角的正弦值、余弦值、正切值求角在不同范围内可以是一个、二个,也可以是无数多个不同的解.

  (板书课题——已知三角函数值求角(一))

  请同学们看一个例题:

  【例1】(1)已知 ,且 ,求

  (2)已知 ,且 ,求 的取值集合.

  师生共同分析:

  (1)由正弦函数在闭区间 上是增函数和 .可知符合条件的角有且只有一个,即


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www.67xuexi.com ,于是

  (2)因为 ,所以 是第一或第二象限角,由正弦函数的单调性和 可知,符合条件的角有且只有两个,即第一象限角 或第二象限角 ,∴所求的 的集合是

  下面给出反正弦概念,请看投影:

  观察上图,根据正弦函数的图像的性质,为了使符合条件 的角 有且只有一个,我们选择闭区间 作为基本范围,在这个闭区间上,符合条件 的角 ,叫做实数 的反正弦,记作 ,即 ,其中 ,且

  


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www.67xuexi.com 表示的意义: 表示一个角,角的特点是①角的正弦值为x,因此角的大小受x的限制;②并不是所有满足 的角都可以,只能是 范围内满足 的角;③由于x为角的正弦值,所以x的值在[-1,1]范围内.

  例如, .那么例1中第(2)小题答案可以写成

  练习(投影)

  (1) 是什么意思?

  (2)若 ,则

  (3)若

参考答案:

  (1)表示 上正弦值等于 的那个角,其实应是 ,故记作

  (2)这个


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www.67xuexi.com 应该是 ,因此

  (3) ,它不是特殊角,故只能这样抽象表示了.

  下面再来建立反余弦概念.

  先看下面例题:

  【例2】(1)已知 ,且 ,求

  (2)已知 ,且 ,求 的取值集合.

  师生共同分析:

  解:(1)由余弦函数在闭区间 上是减函数和 ,可知符合条件的角有且只有一个,这个角为钝角,利用计算器并由 ,可得 ,所以

  (2)因为 ,所以 是第二或第三象限角,由余弦函数的单调性和.

  可知符合条件的角有且只有两个,即第二象限角 或第三象限角


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www.67xuexi.com ,于是所求的 的集合是

  下面我们来给出反余弦定义,先看投影

  观察上图,根据余弦函数图像的性质,为了使符合条件 的角 有且只有一个,我们选择闭区间 作为基本的范围,在这个闭区间上,符合条件 的角 ,叫做实数 的反余弦,作 ,即 ,其中 ,且

  由学生根据反正弦的意义说明反余弦 的意义:

   表示的意义: 表示一个角,角的特点是①角的余弦值为x,因此角的大小受x的限制;②并不是所有满足 的角都可以,只能是 范围内满足


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四.板书设计

课题

例1

反正弦概念

例2

反余弦概念

例3

用反三角函数表示角

演练反馈

总结提炼




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