下学期 5.6平面向量的数量积及运算律1

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，则 叫做向量

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www.67xuexi.com 与 的夹角．你能指出下列图中两向量的夹角吗？

　　① 与 的夹角为 ，② 与 的夹角为 ，③ 与 的夹角是 ，④ 与 的夹角是 ．

　　（2）下面给出数量积定义：

　　师：（板书）已知两个非零向量 和 ，它们的夹角为 ，我们把数量 ，叫做向量 与

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　　并规定

　　师：在平面向量的数量积的定义中，它与两个向量的加减法有什么本质区别．

　　生：向量的数量积结果是一个数量，而向量的加法和减法的结果还是一个向量．

　　师：你能从图中作出 的几何图形吗？ 表示的几何意义是什么？

　　生：如图，过 的终点 作 的垂线段 ，垂足为 ，则由直角三角形的性质得：

　　所以 叫做向量 在向量 上的投影， 叫做 在 上的投影．

　　师：因此我们得到

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　　注意：1°投影也是一个数量，不是向量。

　　　　　2°当q为锐角时投影为正值；

　　当q为钝角时投影为负值；

　　当q为直角时投影为0；

　　当q = 0°时投影为 |b|；

　　当q = 180°时投影为 -|b|。

　　向量的数量积的几何意义：

　　数量积a×b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积。

　　（3）下面讨论数量积的性质：

　　（每写一条让学生动手证一条）设 ， 都是非零向量， 是与 的方向相同的单位向量， 是 与 的夹角，则

　　①

　　②

　　③当 与

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www.67xuexi.com 同向时， ，当 与 反向时， 。

　　特别地

　　④

　　⑤

　　3．演练反馈（投影）

　　（通过练习熟练掌握性质）

　　判断下列各题是否正确

　　（1）若 ，则对任意向量 ，有    （    ）

　　（2）若 ，则对任意非零量 ，有 （    ）

　　（3）若 ，且 ，则           （    ）

　　（4）若 ，则 或

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　　（5）对任意向量 有                  （    ）

　　（6）若 ，且 ，则          （   ）

参考答案：（l）√，（2）×，（3）×，（4）×，（5）√，（6）×．

　　4．总结提炼

　　（l）向量的数量的物理模型是力的做功．

　　（2） 的结果是个实数（标量）

　　（3）利用 ，可以求两向量夹角，尤其是判定垂直。

　　（4）二向量夹角范围 ．

　　（5）五条属性要掌握．

五、板书设计

课题 1．“功”的抽象 2．数量积的定义 3．（5）条性质 （1） （2） （3） （4） （5）

4．演练反馈 5．总结提炼

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