实数概念、知识点及练习题

　　二.“完备的有序域”

　　实数集合通常被描述为“完备的有序域”，这可以几种解释。

　　首先，有序域可以是完备格。然而，很容易发现没有有序域会是完备格。这是由于有序域没有最大元素(对任意元素 z，z + 1 将更大)。所以，这里的“完备”不是完备格的意思。

　　另外，有序域满足戴德金完备性，这在上述公理中已经定义。上述的唯一性也说明了这里的“完备”是指戴德金完备性的意思。这个完备性的意思非常接近采用戴德金分割来构造实数的方法，即从(有理数)有序域出发，通过标准的方法建立戴德金完备性。

　　这两个完备性的概念都忽略了域的结构。然而，有序群(域是种特殊的群)可以定义一致空间，而一致空间又有完备空间的概念。上述完备性中所述的只是一个特例。(这里采用一致空间中的完备性概念，而不是相关的人们熟知的度量空间的完备性，这是由于度量空间的定义依赖于实数的性质。)当然，R 并不是唯一的一致完备的有序域，但它是唯一的一致完备的阿基米德域。实际上，“完备的阿基米德域”比“完备的有序域”更常见。可以证明，任意一致完备的阿基米德域必然是戴德金完备的(当然反之亦然)。这个完备性的意思非常接近采用柯西序列来构造实数的方法，即从(有理数)阿基米德域出发，通过标准的方法建立一致完备性。

　　“完备的阿基米德域”最早是由希尔伯特提出来的，他还想表达一些不同于上述的意思。他认为，实数构成了最大的阿基米德域，即所有其他的阿基米德域都是 R 的子域。这样 R 是“完备的”是指，在其中加入任何元素都将使它不再是阿基米德域。这个完备性的意思非常接近用超实数来构造实数的方法，即从某个包含所有(超实数)有序域的纯类出发，从其子域中找出最大的阿基米德域。

　　高级性质

　　实数集是不可数的，也就是说，实数的个数严格多于自然数的个数(尽管两者都是无穷大)。这一点，可以通过康托尔对角线方法证明。实际上，实数集的势为 2ω(请参见连续统的势)，即自然数集的幂集的势。由于实数集中只有可数集个数的元素可能是代数数，绝大多数实数是超越数。实数集的子集中，不存在其势严格大于自然数集的势且严格小于实数集的势的集合，这就是连续统假设。该假设不能被证明是否正确，这是因为它和集合论的公理不相关。

　　所有非负实数的平方根属于 R，但这对负数不成立。这表明 R 上的序是由其代数结构确定的。而且，所有奇数次多项式至少有一个根属于 R。这两个性质使 R成为实封闭域的最主要的实例。证明这一点就是对代数基本定理的证明的前半部分。

　　实数集拥有一个规范的测度，即勒贝格测度。

　　实数集的上确界公理用到了实数集的子集，这是一种二阶逻辑的陈述。不可能只采用一阶逻辑来刻画实数集：1. Löwenheim-Skolem定理说明，存在一个实数集的可数稠密子集，它在一阶逻辑中正好满足和实数集自身完全相同的命题;2. 超实数的集合远远大于 R，但也同样满足和 R 一样的一阶逻辑命题。满足和 R 一样的一阶逻辑命题的有序域称为 R 的非标准模型。这就是非标准分析的研究内容，在非标准模型中证明一阶逻辑命题(可能比在 R 中证明要简单一些)，从而确定这些命题在 R 中也成立。

　　拓扑性质

　　实数集构成一个度量空间：x 和 y 间的距离定为绝对值 |x - y|。作为一个全序集，它也具有序拓扑。这里，从度量和序关系得到的拓扑相同。实数集又是 1 维的可缩空间(所以也是连通空间)、局部紧致空间、可分空间、贝利空间。但实数集不是紧致空间。这些可以通过特定的性质来确定，例如，无限连续可分的序拓扑必须和实数集同胚。以下是实数的拓扑性质总览：

　　令 a 为一实数。a 的邻域是实数集中一个包括一段含有 a 的线段的子集。

　　R 是可分空间。

　　Q 在 R 中处处稠密。

　　R的开集是开区间的联集。

　　R的紧子集是有界闭集。特别是：所有含端点的有限线段都是紧子集。

　　每个R中的有界序列都有收敛子序列。

　　R是连通且单连通的。

　　R中的连通子集是线段、射线与R本身。由此性质可迅速导出中间值定理。

　　扩展与一般化

　　实数集可以在几种不同的方面进行扩展和一般化：

　　最自然的扩展可能就是复数了。复数集包含了所有多项式的根。但是，复数集不是一个有序域。

　　实数集扩展的有序域是超实数的集合，包含无穷小和无穷大。它不是一个阿基米德域。

　　有时候，形式元素 +∞ 和 -∞ 加入实数集，构成扩展的实数轴。它是一个紧致空间，而不是一个域，但它保留了许多实数的性质。

　　正因如此，毕达哥拉斯本人甚至有“万物皆数”的信念，这里的数是指自然数(1 , 2 , 3 ...)，而由自然数的比就得到所有正有理数，而有理数集存在“缝隙”这一事实，对当时很多数学家来说可谓极大的打击;见第一次数学危机。

　　从古希腊一直到十七世纪，数学家们才慢慢接受无理数的存在，并把它和有理数平等地看作数;后来有虚数概念的引入，为加以区别而称作“实数”，意即“实在的数”。在当时，尽管虚数已经出现并广为使用，实数的严格定义却仍然是个难题，以至函数、极限和收敛性的概念都被定义清楚之后，才由十九世纪末的戴德金、康托等人对实数进行了严格处理。

　　【练习题】

　　1、16的平方根是___，算术平方根是___

　　2、27的立方根是___

　　3、-125的立方根是___

　　4、绝对值最小的实数是___

　　5、如果两个实数的和为零，那么这两个实数一定是___

　　【参考答案】

　　1.±4，4

　　2.3

　　3.-5

　　4.0

　　5.互为相反数

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