实数概念、知识点及练习题

　　【性质与概念】

　　基本概念

　　实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正实数，负实数和零三类。实数集合通常用字母 R 表示。而R^n表示 n 维实数空间。实数是不可数的。实数是实数理论的核心研究对象。

　　实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列(可以是循环的，也可以是非循环的)。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数(保留小数点后 n 位，n为正整数，包括整数)。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。

　　1)相反数(只有符号不同的两个数，它们的和为零，我们就说其中一个是另一个的相反数) 实数a的相反数是-a，a和-a在数轴上到原点0的距离相等。)

　　2)绝对值(在数轴上另一个数与a到原点0的距离分别相等) 实数a的绝对值是：|a|

　　①a为正数时，|a|=a(不变)

　　②a为0时， |a|=0

　　③a为负数时，|a|=-a(为a的相反数)

　　(任何数的绝对值都大于或等于0，因为距离没有负的。)

　　3)倒数(两个实数的乘积是1，则这两个数互为倒数) 实数a的倒数是：1/a (a≠0)

　　4)数轴(任何实数都可在数轴上表示。)

　　定义：如果画一条直线，规定向右的方向为直线的正方向，在其上取原点O及单位长度OE，它就成为数轴线，或称数轴。

　　(1)数轴的三要素：原点、正方向和单位长度。

　　(2)数轴上的点与实数一一对应。

　　5)平方根(某个自乘结果等于的实数，表示为〔√￣〕，其中属于非负实数的平方根称算术平方根。一个正数有两个平方根;0只有一个平方根，就是0本身;负数没有平方根。)

　　6)立方根(如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a(x^3=a)，即3个x连续相乘等于a,那么这个数x就叫做a的立方根(cube root)，也叫做三次方根)

　　分类

　　实数按性质分类是：正实数、负实数、0

　　实数按定义分类是：有理数、无理数

　　有理数的分类 可以分为整数,分数

　　整数又可分为正整数,0,负整数

　　分数又可分为正分数,负分数

　　正有理数又可分为正整数,正分数

　　负有理数又可分为负整数,负分数

　　无理数可分为正无理数和负无理数。

　　相关定义

　　从有理数构造实数

　　实数可以用通过收敛于一个唯一实数的十进制或二进制展开如 {3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,…} 所定义的序列的方式而构造为有理数的补全。实数可以不同方式从有理数构造出来。这里给出其中一种，其他方法请详见实数的构造。

　　公理的方法

　　设 R 是所有实数的集合，则：

　　集合 R 是一个域： 可以作加、减、乘、除运算，且有如交换律，结合律等常见性质。

　　域 R 是个有序域，即存在全序关系≥ ，对所有实数 x, y 和 z：

　　若 x ≥ y 则 x + z ≥ y + z;

　　若 x ≥ 0 且 y ≥ 0 则 xy ≥ 0。

　　集合 R 满足完备性，即任意 R 的有非空子集S ( S∈R，S≠Φ)，若 S 在 R 内有上界，那么 S 在 R 内有上确界。

　　最后一条是区分实数和有理数的关键。例如所有平方小于 2 的有理数的集合存在有理数上界，如 1.5;但是不存在实数上界(因为 不是有理数)。

　　实数通过上述性质唯一确定。更准确的说，给定任意两个有序域 R1 和 R2，存在从 R1 到 R2 的唯一的域同构，即代数学上两者可看作是相同的。

　　相关性质

　　基本运算

　　实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘方等，对非负数(即正数和0)还可以进行开方运算。实数加、减、乘、除(除数不为零)、平方后结果还是实数。任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数，只有非负实数，才能开偶次方其结果还是实数。

　　四则运算封闭性

　　实数集R对加、减、乘、除(除数不为零)四则运算具有封闭性，即任意两个实数的和、差、积、商(除数不为零)仍然是实数。

　　有序性

　　实数集是有序的，即任意两个实数a、b必定满足下列三个关系之一：ab.

　　传递性

　　实数大小具有传递性，即若a>b,b>c,则有a>c.

　　阿基米德性

　　实数具有阿基米德(Archimedes)性，即对任何a，b ∈R，若b>a>0,则存在正整数n，使得na>b.

　　稠密性

　　实数集R具有稠密性，即两个不相等的实数之间必有另一个实数，既有有理数，也有无理数.

　　唯一性

　　如果在一条直线(通常为水平直线)上确定O作为原点，指定一个方向为正方向(通常把指向右的方向规定为正方向)，并规定一个单位长度，则称此直线为数轴。任一实数都对应与数轴上的唯一一个点;反之，数轴上的每一个点也都唯一的表示一个实数。于是，实数集R与数轴上的点有着一一对应的关系。

　　完备性

　　作为度量空间或一致空间，实数集合是个完备空间，它有以下性质：

　　一.所有实数的柯西序列都有一个实数极限。

　　有理数集合就不是完备空间。例如，(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) 是有理数的柯西序列，但没有有理数极限。实际上，它有个实数极限 √2。实数是有理数的完备化——这亦是构造实数集合的一种方法。

　　极限的存在是微积分的基础。实数的完备性等价于欧几里德几何的直线没有“空隙”。

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