三角函数诱导公式概念、知识点及练习题

　　【概念及知识点】

　　一、公式本质

　　所谓三角函数诱导公式，就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。

　　二、常用公式

　　公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

　　sin(2kπ+α)=sinα k∈z

　　cos(2kπ+α)=cosα k∈z

　　tan(2kπ+α)=tanα k∈z

　　公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

　　sin(π+α)=—sinα

　　cos(π+α)=-cosα

　　tan(π+α)=tanα

　　公式三： 任意角α与-α的三角函数值之间的关系：

　　sin(-α)=-sinα

　　cos(-α)=cosα

　　tan(-α)=-tanα

　　公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin(π-α)=sinα

　　cos(π-α)=-cosα

　　tan(π-α)=-tanα

　　公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin(2π-α)=-sinα

　　cos(2π-α)=cosα

　　tan(2π-α)=-tanα

　　公式六： π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin(π/2+α)=cosα

　　sin(π/2-α)=cosα

　　cos(π/2+α)=-sinα

　　cos(π/2-α)=sinα

　　tan(π/2+α)=-cotα

　　推算公式：3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin(3π/2+α)=-cosα

　　sin(3π/2-α)=-cosα

　　cos(3π/2+α)=sinα

　　cos(3π/2-α)=-sinα

　　tan(3π/2+α)=-cotα

　　诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。

　　“奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。(反之亦然成立)“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n·(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。

　　符号判断口诀：

　　“一全正;二正弦;三正切;四余弦”。这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”;第二象限内只有正弦是“+”，其余全部是“-”;第三象限内只有正切和余切是“+”，其余全部是“-”;第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“-”。

　　也可以这样理解：一、二、三、四指的角所在象限。全正、正弦、正切、余弦指的是对应象限三角函数为正值的名称。口诀中未提及的都是负值。

　　“ASTC”反Z。意即为“all(全部)”、“sin”、“tan”、“cos”按照将字母Z反过来写所占的象限对应的三角函数为正值。

　　三、推导公式

　　万能公式推导

　　sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*，

　　(因为cos^2(α)+sin^2(α)=1)

　　再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=2tanα/(1+tan^2(α))

　　然后用α/2代替α即可。

　　同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。

　　三倍角公式推导

　　tan3α=sin3α/cos3α

　　=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)

　　=(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα-sin^3(α))/(cos^3(α)-cosαsin^2(α)-2sin^2(α)cosα)

　　上下同除以cos^3(α)，得：

　　tan3α=(3tanα-tan^3(α))/(1-3tan^2(α))

　　sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα

　　=2sinαcos^2(α)+(1-2sin^2(α))sinα

　　=2sinα-2sin^3(α)+sinα-2sin^3(α)

　　=3sinα-4sin^3(α)

　　cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα

　　=[2cos^2(α)-1]cosα-2cosαsin^2(α)

　　=2cos^3(α)-cosα+[2cosα-2cos^3(α)]

　　=4cos^3(α)-3cosα

　　即

　　sin3α=3sinα-4sin^3(α)

　　cos3α=4cos^3(α)-3cosα

　　和差化积公式推导

　　首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

　　我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

　　同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2

　　同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

　　所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

[1] [2] [3]  下一页